Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm C cố định trên đường kính ấy (C khác điểm O). Điểm M chuyển động trên đường tròn. Đường vuông góc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E và F. Chứng minh:
a/ Tứ giác ACFM nội tiếp.
b/ AE.AM=AB.AC
c/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định.
Cho nửa đường tròn ( O ; R ) đường kính AB , M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn . Xác định vị trí của điểm M để \(MA+MB\sqrt{3}\) đạt giá trị lớn nhất .
cho (O;R) đường kính AB. C là 1 điểm trên đường tròn (O;R).Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O;R) thì D chuyển động trên đường nào ?
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên đường kính ấy ( ). Điểm M chuyển động trên đường tròn. Đường vuông góc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E, F. Chứng minh: a/ Tứ giác ACFM nội tiếp b/ AE.AM=AB.AC c/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định.
1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2r.Trên nửa đường tròn lấy một điểm M bất kì. Gọi C là đối điểm đối xứng của của B qua M.Tìm quĩ tích của các điểm C.
2. Cho nửa đường tròn O đường kính AB=2r. Trên nửa đường tròn lấy một điểm M tùy ý. Vẽ tia Ax vuông góc AB. Gọi H,K thể thu từ hình chiếu trên AB,Ax. Khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn O thì trung điểm I của đường thẳng HK chuyển động trên đường nào?
3. Cho đường tròn O đường kính AB=2r. M là một điểm chuyển động trên đường tròn đó.Gọi G là trọng tâm của tam giác MAB. Tìm quĩ tích của các điểm G.
Cho đường tròn ( O;R ) đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên đường tròn ( M khác A,B ). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M)
a) Chứng minh AC//BD
b) CMR: CD là tiếp tuyến của (O) tại M
c) CMR: AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O) và tính tích AC.BD theo CD
d) Tìm vị trí của M trên (O) để HC = HD
a/
Ta có (M) tiếp xúc với AB tại H (gt) => AB là tiếp tuyến với (M)
Xét tg vuông ACM và tg vuông AHM có
AM chung
MC=MH (bán kính (M))
=> tg ACM = tg AHM (Hai tg vuông vó cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)
C/m tương tự khi xét 2 tg vuông BDM và BHM ta cũng có
\(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)
Ta có
\(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}=\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}+\widehat{AMB}=90^o+90^o=180^o=\widehat{CMD}\)
=> C; M; D thẳng hàng
Ta có
\(AC\perp CD;BD\perp CD\) => AC//BD
b/ Ta có
AC//BD (cmt) => ACDB là hình thang
Mà
MC=MD (bán kính (M)
OA=OB=R
=> OM là đường trung bình của hình thang ACDB => OM//BD
Mà \(BD\perp CD\)
\(\Rightarrow OM\perp CD\) => CD là tiếp tuyến với (O)
c/
Ta có
AC=AH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)
BD=BH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)
\(\Rightarrow AC+BD=AH+BH=AB=2R\) không đổi
d/
Khi HC=HD => tg AHD cân tại H
Ta có MC=MD
\(\Rightarrow MH\perp CD\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)
Mà \(OM\perp CD\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow H\equiv O\)
Xét tg AMB có
\(MH\perp AB\Rightarrow MO\perp AB\)
Mà OA=OB
=> tg AMB cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)
=> MA=MB => sđ cung MA = sđ cung MB (trong đường tròn 2 dây cung bằng nhau thì số đo 2 cung tương ứng bằng nhau)
=> M là điểm giưa cung AB
cho (O;R) đường kính AB. C là 1 điểm trên đường tròn (O;R).Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O;R) thì D chuyển động trên đường nào ?( m.n giúp mk bài này vs ạ)
Ta có : \(\begin{cases}AC\perp BD\\BC=CD\end{cases}\)=> AC là đường trung trực của BD
\(\Rightarrow AB=AD\) mà AB không đổi (gt) => AD không đổi mà A cố định
=> D di chuyển trên đường tròn tâm A , bán kính AD
Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M, N là 2 điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM,ON lấy lần lượt các điểm M' và N' sao cho OM.OM'=ON.ON'=R^2
a) Chứng minh rằng bốn điểm M,N,M',N' thuộc cùng 1 đường tròn.
b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M' thuộc 1 đường tròn cố định
c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO+MA đạt giá trị nhỏ nhất
d) Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO+MA đạt giá trị nhỏ nhất
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho MA = R. Vẽ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm ). Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H.
b) Kẻ đường kính CE của đường tròn (O). Tính MC, DE theo R.
b) Ta có: OM = OA + AM = R + R = 2R
Xét tam giác MCO vuông tại C, CH là đường cao có:
MO 2 = MC 2 + OC 2
CH.OM = CM.CO
Lại có: CD = 2CH ⇒ CD = R 3
Tam giác CDE nội tiếp (O) có CE là đường kính nên ΔCDE vuông tại D
Theo định lí Py ta go ta có:
CE 2 = CD 2 + DE 2
Cho đường tròn ( O ; R ) đường kính AB. C là điểm chuyển động trên đường tròn ( O ; R ) . Trên tia đối tia CB lấy D sao cho CD = CB . Tìm tập hợp các điểm D .
Do C là trung điểm của BD => \(AC\perp BD\) ( AC trùng với đường kính đường tròn ( O ; R ) đi qua C )
\(\Delta ABD\) có AC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến => \(\Delta ABD\) cân tại A
=> AB = AD (không đổi) hay với C di động trên đường tròn ( O ; R ) thì AD không đổi => D di động trên đường tròn ( A ; 2R )
